Trudny

Stożek Ścięty Pochyły

Stożek ścięty pochyły to bryła powstała przez przecięcie stożka pochyłego płaszczyzną równoległą do podstawy i usunięcie górnej części. Pozwala analizować promienie obu podstaw, wysokość, różne tworzące, pole całkowite, objętość oraz zależności geometryczne charakterystyczne dla bryły pochyłej.

Twierdzenia

Interaktywny model

Zobacz bryłę w przestrzeni

Stożek ścięty pochyły

Interaktywny model 3D

Kliknij podstawę górną, dolną albo powierzchnię boczną, aby zobaczyć wzory i analizę. Użyj panelu Leva, żeby zmieniać promienie, wysokość oraz przesunięcie górnej podstawy.

Przeciągnij, aby obrócić. Gest szczypania zmienia przybliżenie.

Kliknij element bryły, aby otworzyć jego szczegóły.

Najważniejsze dane

Właściwości bryły

Szczegółowa specyfikacja parametrów geometrycznych stożka ściętego pochyłego.

Ściany

Całkowita liczba ścian

Krawędzie

Wszystkie krawędzie bryły

Wierzchołki

Punkty styku krawędzi

Ściany boczne

Liczba ścian bocznych

Krawędzie podstawy

Krawędzie podstaw

Legenda symboli

VWierzchołki

Vertices - Punkty, w których zbiegają się krawędzie.

EKrawędzie

Edges - Odcinki łączące dwa wierzchołki.

FŚciany

Faces - Płaskie powierzchnie ograniczające bryłę.

Twierdzenie Eulera

Weryfikacja spójności topologicznej bryły

Wynik: Negatywny

Równanie

V - E + F = 2

0 - 2 + 3 = 1

∑

Na czym polega weryfikacja?

Weryfikacja Eulera to matematyczny „test szczelności” bryły. Dla każdego wielościanu wypukłego (takiego bez dziur i wklęśnięć), różnica między liczbą wierzchołków i krawędzi powiększona o liczbę ścian zawsze musi wynosić 2. Jeśli wynik się zgadza, mamy pewność, że struktura bryły jest poprawna.

Matematyczna Ontologia Bryły

Zestaw wzorów, zależności i wyprowadzeń

Poziom 01

Proste

Podstawowe wzory i zależności

ID_bottomRadius

Promień większej podstawy

Promień większego koła będącego dolną podstawą stożka ściętego pochyłego.

ID_topRadius

Promień mniejszej podstawy

Promień mniejszego koła będącego górną podstawą stożka ściętego pochyłego.

ID_heightFrustum

Wysokość

Odległość między płaszczyznami obu podstaw.

info

ID_bottomCircumference

Obwód większej podstawy

Obwód większego koła w dolnej podstawie.

info

ID_topCircumference

Obwód mniejszej podstawy

Obwód mniejszego koła w górnej podstawie.

info

ID_bottomArea

Pole większej podstawy

Pole większego koła będącego dolną podstawą.

info

ID_topArea

Pole mniejszej podstawy

Pole mniejszego koła będącego górną podstawą.

info

ID_surfaceArea

Pole całkowite

Suma pól obu podstaw i pola bocznego.

Poziom 02

Średnie

Wzory wymagające łączenia kilku zależności

ID_shortGenerator

Krótsza tworząca

Jedna z tworzących stożka ściętego pochyłego, krótsza po stronie bliższej przesunięciu.

ID_longGenerator

Dłuższa tworząca

Jedna z tworzących stożka ściętego pochyłego, dłuższa po stronie dalszej przesunięciu.

info

ID_volume

Objętość

Objętość stożka ściętego pochyłego jest taka sama jak w przypadku stożka ściętego prostego o tych samych podstawach i wysokości.

info

ID_axialSectionGeneral

Przekrój osiowy

Przekrój osiowy stożka ściętego pochyłego nie musi być trapezem równoramiennym.

Poziom 03

Zaawansowane

Trudniejsze zależności i wyprowadzenia

info

ID_lateralAreaGeneral

Pole boczne

Pole powierzchni bocznej stożka ściętego pochyłego. W ogólności nie ma jednego prostego wzoru elementarnego takiego jak

bez dodatkowych założeń.

ID_compactnessRatio

Stosunek pola do objętości

Często używany w analizie efektywności brył.

Sekcja edukacyjna

Najczęstsze błędy

Zobacz najpopularniejsze pomyłki przy zadaniach o tej bryle i sprawdź, jak poprawnie zapisywać wzory, obliczenia oraz odpowiedzi.

błędów

Źle vs dobrze

czytelne porównanie

Wskazówki

łatwiej zapamiętać

Błąd 1

Używanie wzoru na pole boczne stożka ściętego prostego

Źle

Dobrze

W stożku ściętym pochyłym pole boczne nie ma w ogólności tak prostego wzoru.

Wzór działa dla stożka ściętego prostego, gdzie wszystkie tworzące są równe. W stożku ściętym pochyłym tworzące mają różne długości.

Zapamiętaj

Nie przenoś bezpośrednio wzorów ze stożka ściętego prostego na pochyły.

Błąd 2

Pomijanie jednej podstawy w polu całkowitym

Źle

Dobrze

Stożek ścięty pochyły ma dwie podstawy, więc trzeba uwzględnić pole obu kół.

Zapamiętaj

Pamiętaj, że stożek ścięty pochyły ma dwie podstawy.

Błąd 3

Mylenie pola podstawy z obwodem

Źle

Dobrze

Wzór opisuje obwód koła, a nie jego pole.

Zapamiętaj

Pole koła liczymy z kwadratem promienia.

Błąd 4

Zakładanie jednej tworzącej dla całej bryły

Źle

Dobrze

W stożku ściętym pochyłym tworzące mają różne długości, więc zwykle rozpatrujemy co najmniej dwie różne tworzące.

Wzór na jedną tworzącą dotyczy stożka ściętego prostego. W wersji pochyłej po jednej stronie tworząca jest krótsza, po drugiej dłuższa.

Zapamiętaj

Rozróżniaj stożek ścięty prosty i pochyły.

Błąd 5

Błędny wzór na objętość

Źle

Dobrze

W objętości stożka ściętego pochyłego nadal występuje czynnik .

Zapamiętaj

Dla tej bryły we wzorze na objętość zawsze pojawia się .

Błąd 6

Zakładanie, że bryła ma jeden wierzchołek

Źle

vertices:

Dobrze

vertices:

Po ścięciu i usunięciu górnej części bryła nie ma już wierzchołka.

Zapamiętaj

Stożek ścięty pochyły nie ma wierzchołków.

Błąd 7

Pomijanie jednostek

Źle

Dobrze

Wynik bez jednostki jest niepełny. Pole zapisujemy w , a objętość w .

Zapamiętaj

Na końcu zawsze dopisz odpowiednią jednostkę.

Matematyka

Przykładowe zadania

Stożek Ścięty Pochyły - 5 zadań o rosnącym poziomie trudności wraz z rozwiązaniami.

Rozwiązanie

Pole większej podstawy:

Pole mniejszej podstawy:

Odpowiedź:

Rozwiązanie

Obwód koła:

Obwód większej podstawy:

Obwód mniejszej podstawy:

Odpowiedź:

Rozwiązanie

Objętość stożka ściętego (również pochyłego):

Podstawiamy dane:

Rozwiązanie

Przybliżone pole powierzchni bocznej:

Podstawiamy dane:

Rozwiązanie

Pole podstaw:

Pole powierzchni bocznej (przybliżone):

Pole całkowite:

Quiz matematyczny