Trudny

Dwudziestościan

Dwudziestościan foremny to wielościan złożony z dwudziestu jednakowych trójkątów równobocznych. Pozwala analizować długość krawędzi, pole jednej ściany, pole całkowite, objętość oraz zależności między ścianami, przekrojami i symetrią bryły.

Twierdzenia

Interaktywny model

Zobacz bryłę w przestrzeni

Dwudziestościan

Interaktywny model 3D

Kliknij dowolną trójkątną ścianę, aby zobaczyć wzory i analizę. Każda ściana ma inny kolor.

Przeciągnij, aby obrócić. Gest szczypania zmienia przybliżenie.

Kliknij element bryły, aby otworzyć jego szczegóły.

Najważniejsze dane

Właściwości bryły

Szczegółowa specyfikacja parametrów geometrycznych dwudziestościanu foremnego.

Ściany

Całkowita liczba ścian

Krawędzie

Wszystkie krawędzie bryły

Wierzchołki

Punkty styku krawędzi

Ściany boczne

Liczba ścian bocznych

Krawędzie podstawy

Krawędzie podstaw

Legenda symboli

VWierzchołki

Vertices - Punkty, w których zbiegają się krawędzie.

EKrawędzie

Edges - Odcinki łączące dwa wierzchołki.

FŚciany

Faces - Płaskie powierzchnie ograniczające bryłę.

Twierdzenie Eulera

Weryfikacja spójności topologicznej bryły

Wynik: Poprawny

Równanie

V - E + F = 2

12 - 30 + 20 = 2

∑

Na czym polega weryfikacja?

Weryfikacja Eulera to matematyczny „test szczelności” bryły. Dla każdego wielościanu wypukłego (takiego bez dziur i wklęśnięć), różnica między liczbą wierzchołków i krawędzi powiększona o liczbę ścian zawsze musi wynosić 2. Jeśli wynik się zgadza, mamy pewność, że struktura bryły jest poprawna.

Matematyczna Ontologia Bryły

Zestaw wzorów, zależności i wyprowadzeń

Poziom 01

Proste

Podstawowe wzory i zależności

ID_edgeLength

Długość krawędzi

Długość każdej krawędzi dwudziestościanu foremnego.

info

ID_triangleHeight

Wysokość jednej ściany

Wysokość trójkąta równobocznego będącego ścianą dwudziestościanu foremnego.

info

ID_oneFacePerimeter

Obwód jednej ściany

Obwód trójkąta równobocznego będącego jedną ścianą dwudziestościanu.

info

ID_oneFaceArea

Pole jednej ściany

Pole jednego trójkąta równobocznego będącego ścianą dwudziestościanu foremnego.

Poziom 02

Średnie

Wzory wymagające łączenia kilku zależności

info

ID_surfaceArea

Pole całkowite

Suma pól wszystkich dwudziestu ścian dwudziestościanu foremnego.

Poziom 03

Zaawansowane

Trudniejsze zależności i wyprowadzenia

info

ID_volume

Objętość

Objętość dwudziestościanu foremnego o krawędzi

ID_inscribedSphereRadius

Promień kuli wpisanej

Promień kuli wpisanej w dwudziestościan foremny.

ID_circumscribedSphereRadius

Promień kuli opisanej

Promień kuli opisanej na dwudziestościanie foremnym.

info

ID_crossSectionGeneral

Przekrój dwudziestościanu

Przekroje dwudziestościanu foremnego mogą tworzyć różne wielokąty, zależnie od położenia płaszczyzny.

ID_compactnessRatio

Stosunek pola do objętości

Często używany w analizie efektywności brył.

Sekcja edukacyjna

Najczęstsze błędy

Zobacz najpopularniejsze pomyłki przy zadaniach o tej bryle i sprawdź, jak poprawnie zapisywać wzory, obliczenia oraz odpowiedzi.

błędów

Źle vs dobrze

czytelne porównanie

Wskazówki

łatwiej zapamiętać

Błąd 1

Mylenie dwudziestościanu z dwunastościanem

Źle

Ściany są pięciokątami foremnymi

Dobrze

Ściany są trójkątami równobocznymi

Dwudziestościan foremny ma dwadzieścia ścian trójkątnych, a nie pięciokątnych.

Zapamiętaj

Dwudziestościan to bryła złożona z trójkątów równobocznych.

Błąd 2

Błędny wzór na pole jednej ściany

Źle

Dobrze

Każda ściana dwudziestościanu foremnego jest trójkątem równobocznym, a nie kwadratem.

Zapamiętaj

Dla trójkąta równobocznego używaj wzoru .

Błąd 3

Błędny wzór na pole całkowite

Źle

Dobrze

Pole całkowite to suma pól dwudziestu trójkątów równobocznych, a nie dwudziestu kwadratów.

Zapamiętaj

Najpierw policz pole jednej ściany, potem pomnóż przez 20.

Błąd 4

Błędny wzór na objętość

Źle

Dobrze

Dwudziestościan foremny ma własny wzór na objętość, inny niż sześcian.

Zapamiętaj

Zapamiętaj pełny wzór na objętość dwudziestościanu foremnego.

Błąd 5

Błędna liczba wierzchołków

Źle

vertices:

Dobrze

vertices:

Dwudziestościan ma dwanaście wierzchołków.

Zapamiętaj

Zapamiętaj: dwudziestościan ma 20 ścian, 30 krawędzi i 12 wierzchołków.

Błąd 6

Błędna liczba krawędzi

Źle

edges:

Dobrze

edges:

Dwudziestościan ma trzydzieści krawędzi.

Zapamiętaj

Nie myl liczby ścian z liczbą krawędzi.

Błąd 7

Pomijanie jednostek

Źle

Dobrze

Wynik bez jednostki jest niepełny. Pole zapisujemy w , a objętość w .

Zapamiętaj

Na końcu zawsze dopisz odpowiednią jednostkę.

Matematyka

Przykładowe zadania

Dwudziestościan - 5 zadań o rosnącym poziomie trudności wraz z rozwiązaniami.

Rozwiązanie

Obwód trójkąta równobocznego:

Podstawiamy dane:

Rozwiązanie

Pole trójkąta równobocznego:

Podstawiamy dane:

Rozwiązanie

Dwudziestościan ma 20 jednakowych ścian.

Pole jednej ściany:

Pole powierzchni całkowitej:

Rozwiązanie

Objętość dwudziestościanu foremnego:

Podstawiamy dane:

Rozwiązanie

Pole powierzchni całkowitej dwudziestościanu:

Upraszczamy:

Podstawiamy dane:

Dzielimy przez :

Quiz matematyczny