Twierdzenia i zależności

Dwudziestościan

Dwudziestościan foremny to wielościan złożony z dwudziestu jednakowych trójkątów równobocznych. Pozwala analizować długość krawędzi, pole jednej ściany, pole całkowite, objętość oraz zależności między ścianami, przekrojami i symetrią bryły.

12 użytecznych twierdzeń

01Wzór i zależność

Długość krawędzi

Długość każdej krawędzi dwudziestościanu foremnego.

02Wzór i zależność

Wysokość jednej ściany

Wysokość trójkąta równobocznego będącego ścianą dwudziestościanu foremnego.

Każda ściana dwudziestościanu foremnego jest trójkątem równobocznym o boku

. Wysokość takiego trójkąta wynosi:

03Wzór i zależność

Obwód jednej ściany

Obwód trójkąta równobocznego będącego jedną ścianą dwudziestościanu.

Każda ściana dwudziestościanu foremnego jest trójkątem równobocznym. Ma trzy równe boki długości

, więc:

04Wzór i zależność

Pole jednej ściany

Pole jednego trójkąta równobocznego będącego ścianą dwudziestościanu foremnego.

Każda ściana dwudziestościanu foremnego jest trójkątem równobocznym o boku

. Pole takiego trójkąta wynosi:

05Wzór i zależność

Pole całkowite

Suma pól wszystkich dwudziestu ścian dwudziestościanu foremnego.

Dwudziestościan foremny ma dwadzieścia jednakowych ścian będących trójkątami równobocznymi. Pole jednej ściany wynosi:

Zatem:

06Wzór i zależność

Objętość

Objętość dwudziestościanu foremnego o krawędzi

Dla dwudziestościanu foremnego obowiązuje gotowy wzór na objętość:

07Wzór i zależność

Promień kuli wpisanej

Promień kuli wpisanej w dwudziestościan foremny.

08Wzór i zależność

Promień kuli opisanej

Promień kuli opisanej na dwudziestościanie foremnym.

09Wzór i zależność

Przekrój dwudziestościanu

Przekroje dwudziestościanu foremnego mogą tworzyć różne wielokąty, zależnie od położenia płaszczyzny.

W dwudziestościanie foremnym przekroje zależą od ułożenia płaszczyzny. Mogą powstawać różne wielokąty, a szczególnie ważne są przekroje przechodzące przez środki ścian lub przez wybrane wierzchołki.

10Wzór i zależność

Stosunek pola do objętości

Często używany w analizie efektywności brył.

11Zasada ogólna

Skalowanie długości

W bryłach podobnych każda długość - krawędź, wysokość, promień lub przekątna - zmienia się w skali k.

Podobieństwo zachowuje kąty i mnoży wszystkie odległości przez ten sam dodatni współczynnik k.

12Zasada ogólna

Skalowanie pól

Pole dowolnej odpowiadającej powierzchni bryły podobnej rośnie jak kwadrat skali podobieństwa.

Pole zależy od iloczynu dwóch długości, a każda z nich zostaje pomnożona przez k.

Zastosuj wiedzę na modelu

Obróć bryłę, zmień jej parametry i sprawdź zależności na interaktywnej wizualizacji.

Otwórz model