Twierdzenia i zależności

Tetraedr

Tetraedr to czworościan foremny złożony z czterech jednakowych trójkątów równobocznych. Pozwala analizować długość krawędzi, wysokość bryły, pole podstawy, pole całkowite, objętość oraz zależności między przekrojami i ścianami.

12 użytecznych twierdzeń

01Wzór i zależność

Długość krawędzi

Długość każdej krawędzi tetraedru foremnego.

02Wzór i zależność

Wysokość tetraedru

Odległość wierzchołka od płaszczyzny podstawy tetraedru foremnego.

W tetraedrze foremnym wysokość można wyznaczyć z zależności geometrycznych w trójkątach prostokątnych powstających wewnątrz bryły. Ostatecznie otrzymujemy:

03Wzór i zależność

Wysokość podstawy

Wysokość trójkąta równobocznego będącego podstawą tetraedru.

Podstawa tetraedru foremnego jest trójkątem równobocznym o boku

. Wysokość takiego trójkąta wynosi:

04Wzór i zależność

Obwód podstawy

Obwód trójkąta równobocznego będącego podstawą tetraedru.

Podstawa tetraedru foremnego jest trójkątem równobocznym. Ma trzy równe boki długości

, więc:

05Wzór i zależność

Pole podstawy

Pole trójkąta równobocznego będącego podstawą tetraedru.

Podstawa tetraedru foremnego jest trójkątem równobocznym o boku

. Pole takiego trójkąta wynosi:

06Wzór i zależność

Pole powierzchni bocznej

Suma pól trzech ścian bocznych tetraedru foremnego.

Tetraedr foremny ma trzy ściany boczne, a każda z nich jest trójkątem równobocznym o boku

. Pole jednej ściany wynosi:

Zatem:

07Wzór i zależność

Pole całkowite

Suma pól wszystkich czterech ścian tetraedru foremnego.

Tetraedr foremny ma cztery jednakowe ściany będące trójkątami równobocznymi. Pole jednej ściany wynosi:

Zatem pole całkowite wynosi:

08Wzór i zależność

Objętość

Objętość tetraedru foremnego o krawędzi

Objętość każdej bryły ostrosłupowej liczymy ze wzoru:

Dla tetraedru foremnego:

Po podstawieniu otrzymujemy:

09Wzór i zależność

Pole przekroju przez krawędź i środek przeciwległej krawędzi

Wybrany przekrój tetraedru foremnego jest trójkątem równoramiennym.

W tetraedrze foremnym wiele przekrojów daje trójkąty. Przekrój przechodzący przez krawędź i środek przeciwległej krawędzi jest trójkątem równoramiennym.

10Wzór i zależność

Stosunek pola do objętości

Często używany w analizie efektywności brył.

11Zasada ogólna

Skalowanie długości

W bryłach podobnych każda długość - krawędź, wysokość, promień lub przekątna - zmienia się w skali k.

Podobieństwo zachowuje kąty i mnoży wszystkie odległości przez ten sam dodatni współczynnik k.

12Zasada ogólna

Skalowanie pól

Pole dowolnej odpowiadającej powierzchni bryły podobnej rośnie jak kwadrat skali podobieństwa.

Pole zależy od iloczynu dwóch długości, a każda z nich zostaje pomnożona przez k.

Zastosuj wiedzę na modelu

Obróć bryłę, zmień jej parametry i sprawdź zależności na interaktywnej wizualizacji.

Otwórz model