Twierdzenia i zależności

Półkula

Półkula to połowa kuli powstała przez przecięcie jej płaszczyzną przechodzącą przez środek. Pozwala analizować promień, średnicę, pole podstawy, pole powierzchni bocznej, pole całkowite, objętość oraz zależności między przekrojami i środkiem bryły.

12 użytecznych twierdzeń

01Wzór i zależność

Promień półkuli

Odległość od środka kuli do dowolnego punktu powierzchni półkuli.

02Wzór i zależność

Średnica

Odcinek przechodzący przez środek pełnej kuli, z której powstała półkula.

Średnica jest dwa razy większa od promienia. Dlatego:

03Wzór i zależność

Obwód podstawy

Obwód koła będącego podstawą półkuli.

Podstawa półkuli jest kołem o promieniu

. Obwód tego koła wynosi:

04Wzór i zależność

Pole podstawy

Pole koła będącego podstawą półkuli.

Podstawa półkuli jest kołem o promieniu

. Pole tego koła wynosi:

05Wzór i zależność

Pole powierzchni bocznej

Pole zakrzywionej części powierzchni półkuli bez podstawy.

Pole całej kuli wynosi:

Półkula stanowi połowę jej zakrzywionej powierzchni, więc:

06Wzór i zależność

Pole całkowite

Suma pola powierzchni bocznej i pola podstawy półkuli.

Półkula ma: - jedną zakrzywioną powierzchnię, - jedną podstawę. Dlatego:

Po podstawieniu:

07Wzór i zależność

Objętość

Objętość półkuli o promieniu

Objętość całej kuli wynosi:

Półkula jest połową kuli, więc:

08Wzór i zależność

Promień ze średnicy

Wzór pozwalający obliczyć promień, gdy znamy średnicę.

Jeśli średnica jest dwa razy większa od promienia, to promień jest połową średnicy:

09Wzór i zależność

Pole przekroju osiowego

Pole półkola powstałego w przekroju osiowym półkuli.

Przekrój osiowy półkuli jest półkolem o promieniu

. Pole koła wynosi

, więc pole półkola wynosi:

10Wzór i zależność

Stosunek pola do objętości

Często używany w analizie efektywności brył.

11Zasada ogólna

Skalowanie długości

W bryłach podobnych każda długość - krawędź, wysokość, promień lub przekątna - zmienia się w skali k.

Podobieństwo zachowuje kąty i mnoży wszystkie odległości przez ten sam dodatni współczynnik k.

12Zasada ogólna

Skalowanie pól

Pole dowolnej odpowiadającej powierzchni bryły podobnej rośnie jak kwadrat skali podobieństwa.

Pole zależy od iloczynu dwóch długości, a każda z nich zostaje pomnożona przez k.

Zastosuj wiedzę na modelu

Obróć bryłę, zmień jej parametry i sprawdź zależności na interaktywnej wizualizacji.

Otwórz model