Twierdzenia i zależności

Ostrosłup Prawidłowy Trójkątny

Ostrosłup prawidłowy o podstawie trójkąta równobocznego. Pozwala analizować pole podstawy, pole boczne, pole całkowite, objętość oraz wysokości i krawędzie bryły.

14 użytecznych twierdzeń

01Wzór i zależność

Bok podstawy

Długość boku trójkąta równobocznego będącego podstawą ostrosłupa.

02Wzór i zależność

Wysokość trójkąta w podstawie

Wysokość trójkąta równobocznego w podstawie.

Wysokość trójkąta równobocznego dzieli go na dwa trójkąty prostokątne. Z twierdzenia Pitagorasa otrzymujemy:

03Wzór i zależność

Wysokość ostrosłupa

Odległość od wierzchołka ostrosłupa do płaszczyzny podstawy.

04Wzór i zależność

Obwód podstawy

Obwód trójkąta równobocznego w podstawie.

Podstawa jest trójkątem równobocznym. Ma trzy boki o tej samej długości:

Zatem:

05Wzór i zależność

Pole podstawy

Pole trójkąta równobocznego o boku a.

Podstawa ostrosłupa jest trójkątem równobocznym. Pole trójkąta liczymy jako:

Po podstawieniu wysokości trójkąta równobocznego:

06Wzór i zależność

Promień okręgu wpisanego w podstawę

Promień okręgu wpisanego w trójkąt równoboczny.

Dla trójkąta równobocznego promień okręgu wpisanego wynosi:

07Wzór i zależność

Promień okręgu opisanego na podstawie

Promień okręgu opisanego na trójkącie równobocznym.

Dla trójkąta równobocznego promień okręgu opisanego wynosi:

08Wzór i zależność

Wysokość ściany bocznej

Wysokość trójkątnej ściany bocznej ostrosłupa.

W ostrosłupie prawidłowym wysokość ściany bocznej, wysokość ostrosłupa i promień okręgu wpisanego w podstawę tworzą trójkąt prostokątny. Dlatego:

Po podstawieniu można też zapisać:

09Wzór i zależność

Pole jednej ściany bocznej

Pole jednego trójkąta bocznego.

Każda ściana boczna jest trójkątem o podstawie

i wysokości

. Dlatego:

10Wzór i zależność

Pole boczne

Suma pól trzech ścian bocznych ostrosłupa.

Ostrosłup prawidłowy trójkątny ma 3 jednakowe ściany boczne. Pole jednej ściany wynosi:

Zatem suma pól trzech ścian to:

11Wzór i zależność

Pole całkowite

Suma pola podstawy i pola bocznego.

Ostrosłup ma jedną podstawę i ściany boczne. Dlatego:

Po podstawieniu wzorów otrzymujemy:

12Wzór i zależność

Objętość

Objętość ostrosłupa to jedna trzecia pola podstawy razy wysokość.

Objętość każdego ostrosłupa liczymy ze wzoru:

Po podstawieniu pola podstawy:

13Wzór i zależność

Krawędź boczna

Długość krawędzi łączącej wierzchołek ostrosłupa z wierzchołkiem podstawy.

W ostrosłupie prawidłowym wysokość ostrosłupa i promień okręgu opisanego na podstawie tworzą z krawędzią boczną trójkąt prostokątny. Dlatego:

Po podstawieniu można zapisać:

14Wzór i zależność

Stosunek pola do objętości

Często używany w analizie efektywności brył.

Zastosuj wiedzę na modelu

Obróć bryłę, zmień jej parametry i sprawdź zależności na interaktywnej wizualizacji.

Otwórz model