Twierdzenia i zależności

Ostrosłup Prawidłowy Pięciokątny

Ostrosłup prawidłowy o podstawie pięciokąta foremnego. Pozwala analizować pole podstawy, pole boczne, pole całkowite, objętość oraz wysokości i krawędzie bryły.

14 użytecznych twierdzeń

01Wzór i zależność

Bok podstawy

Długość boku pięciokąta foremnego będącego podstawą ostrosłupa.

02Wzór i zależność

Wysokość ostrosłupa

Odległość od wierzchołka ostrosłupa do płaszczyzny podstawy.

03Wzór i zależność

Obwód podstawy

Obwód pięciokąta foremnego w podstawie.

Podstawa jest pięciokątem foremnym. Ma pięć boków o tej samej długości:

Zatem:

04Wzór i zależność

Promień okręgu wpisanego w podstawę

Promień okręgu wpisanego w pięciokąt foremny.

Pięciokąt foremny można podzielić na 5 przystających trójkątów równoramiennych. W każdym z nich połowa boku podstawy ma długość

, a kąt przy środku prowadzi do zależności z tangensem:

Stąd:

05Wzór i zależność

Promień okręgu opisanego na podstawie

Promień okręgu opisanego na pięciokącie foremnym.

W pięciokącie foremnym promień okręgu opisanego wynika z podziału figury na 5 trójkątów równoramiennych. Z zależności trygonometrycznej otrzymujemy:

06Wzór i zależność

Pole podstawy

Pole pięciokąta foremnego o boku a.

Pięciokąt foremny można podzielić na 5 jednakowych trójkątów. Można też skorzystać ze wzoru dla wielokąta foremnego:

Po podstawieniu:

oraz:

otrzymujemy:

07Wzór i zależność

Wysokość ściany bocznej

Wysokość trójkątnej ściany bocznej ostrosłupa.

W ostrosłupie prawidłowym wysokość ściany bocznej, wysokość ostrosłupa i promień okręgu wpisanego w podstawę tworzą trójkąt prostokątny. Dlatego:

08Wzór i zależność

Pole jednej ściany bocznej

Pole jednego trójkąta bocznego.

Każda ściana boczna jest trójkątem o podstawie

i wysokości

. Dlatego:

09Wzór i zależność

Pole boczne

Suma pól pięciu ścian bocznych ostrosłupa.

Ostrosłup prawidłowy pięciokątny ma 5 jednakowych ścian bocznych. Pole jednej ściany wynosi:

Zatem suma pól pięciu ścian to:

10Wzór i zależność

Pole całkowite

Suma pola podstawy i pola bocznego.

Ostrosłup ma jedną podstawę i ściany boczne. Dlatego:

Po podstawieniu wzorów otrzymujemy:

11Wzór i zależność

Objętość

Objętość ostrosłupa to jedna trzecia pola podstawy razy wysokość.

Objętość każdego ostrosłupa liczymy ze wzoru:

Po podstawieniu pola podstawy:

12Wzór i zależność

Krawędź boczna

Długość krawędzi łączącej wierzchołek ostrosłupa z wierzchołkiem podstawy.

W ostrosłupie prawidłowym wysokość ostrosłupa i promień okręgu opisanego na podstawie tworzą z krawędzią boczną trójkąt prostokątny. Dlatego:

Po podstawieniu

można zapisać:

13Wzór i zależność

Przekątna podstawy

Przekątna pięciokąta foremnego, gdzie \(\varphi = \frac{1+\sqrt{5}}{2}\).

W pięciokącie foremnym stosunek przekątnej do boku jest równy złotej proporcji:

Dlatego przekątna podstawy ma długość:

14Wzór i zależność

Stosunek pola do objętości

Często używany w analizie efektywności brył.

Zastosuj wiedzę na modelu

Obróć bryłę, zmień jej parametry i sprawdź zależności na interaktywnej wizualizacji.

Otwórz model