Twierdzenia i zależności

Ośmiościan

Ośmiościan foremny to wielościan złożony z ośmiu jednakowych trójkątów równobocznych. Pozwala analizować długość krawędzi, wysokość bryły, pole podstawy, pole całkowite, objętość oraz zależności między przekrojami i ścianami.

12 użytecznych twierdzeń

01Wzór i zależność

Długość krawędzi

Długość każdej krawędzi ośmiościanu foremnego.

02Wzór i zależność

Wysokość ośmiościanu

Odległość między dwoma przeciwległymi wierzchołkami ośmiościanu foremnego.

Ośmiościan foremny można traktować jako dwie jednakowe ostrosłupy czworokątne sklejone podstawami. Wysokość całej bryły wynosi:

03Wzór i zależność

Połowa wysokości

Wysokość jednej z dwóch jednakowych części ośmiościanu względem wspólnej podstawy.

Ośmiościan foremny składa się z dwóch jednakowych ostrosłupów czworokątnych. Każda z tych części ma wysokość równą połowie wysokości całej bryły:

04Wzór i zależność

Obwód kwadratu środkowego

Obwód kwadratu powstającego w środkowym przekroju ośmiościanu foremnego.

Środkowy przekrój ośmiościanu foremnego jest kwadratem o boku

. Obwód takiego kwadratu wynosi:

05Wzór i zależność

Pole kwadratu środkowego

Pole kwadratu powstającego w środkowym przekroju ośmiościanu foremnego.

Środkowy przekrój ośmiościanu foremnego jest kwadratem o boku

. Pole takiego kwadratu wynosi:

06Wzór i zależność

Pole jednej ściany

Pole jednego trójkąta równobocznego będącego ścianą ośmiościanu foremnego.

Każda ściana ośmiościanu foremnego jest trójkątem równobocznym o boku

. Pole takiego trójkąta wynosi:

07Wzór i zależność

Pole całkowite

Suma pól wszystkich ośmiu ścian ośmiościanu foremnego.

Ośmiościan foremny ma osiem jednakowych ścian będących trójkątami równobocznymi. Pole jednej ściany wynosi:

Zatem pole całkowite wynosi:

08Wzór i zależność

Objętość

Objętość ośmiościanu foremnego o krawędzi

Ośmiościan foremny można rozłożyć na dwa jednakowe ostrosłupy czworokątne o podstawie

i wysokości

. Objętość jednej części wynosi:

Cała bryła ma objętość dwa razy większą, więc:

09Wzór i zależność

Pole przekroju osiowego

Wybrany przekrój osiowy ośmiościanu foremnego jest kwadratem.

Przekrój ośmiościanu foremnego przechodzący przez dwa przeciwległe wierzchołki i dwie przeciwległe krawędzie środkowe jest kwadratem. Jego bok ma długość

, więc pole wynosi:

10Wzór i zależność

Stosunek pola do objętości

Często używany w analizie efektywności brył.

11Zasada ogólna

Skalowanie długości

W bryłach podobnych każda długość - krawędź, wysokość, promień lub przekątna - zmienia się w skali k.

Podobieństwo zachowuje kąty i mnoży wszystkie odległości przez ten sam dodatni współczynnik k.

12Zasada ogólna

Skalowanie pól

Pole dowolnej odpowiadającej powierzchni bryły podobnej rośnie jak kwadrat skali podobieństwa.

Pole zależy od iloczynu dwóch długości, a każda z nich zostaje pomnożona przez k.

Zastosuj wiedzę na modelu

Obróć bryłę, zmień jej parametry i sprawdź zależności na interaktywnej wizualizacji.

Otwórz model