Twierdzenia i zależności

Kula

Kula to bryła, której wszystkie punkty powierzchni są jednakowo oddalone od środka. Pozwala analizować promień, średnicę, pole powierzchni, objętość oraz zależności między przekrojami i środkiem bryły.

12 użytecznych twierdzeń

01Wzór i zależność

Promień kuli

Odległość od środka kuli do dowolnego punktu jej powierzchni.

02Wzór i zależność

Średnica kuli

Odcinek przechodzący przez środek kuli i łączący dwa punkty jej powierzchni.

Średnica kuli jest dwa razy większa od promienia. Dlatego:

03Wzór i zależność

Obwód wielkiego koła

Obwód największego koła, jakie można wyznaczyć na kuli.

Przekrój kuli płaszczyzną przechodzącą przez jej środek daje wielkie koło. Obwód takiego koła o promieniu

wynosi:

04Wzór i zależność

Pole wielkiego koła

Pole największego koła otrzymanego w przekroju przez środek kuli.

Największy przekrój kuli to koło o promieniu równym promieniowi kuli. Pole tego koła wynosi:

05Wzór i zależność

Pole powierzchni kuli

Pole całej powierzchni kuli.

Pole powierzchni kuli o promieniu

wyraża wzór:

06Wzór i zależność

Objętość kuli

Objętość kuli o promieniu

liczymy ze wzoru:

07Wzór i zależność

Promień ze średnicy

Wzór pozwalający obliczyć promień, gdy znamy średnicę.

Jeśli średnica jest dwa razy większa od promienia, to promień jest połową średnicy:

08Wzór i zależność

Przekrój kuli

Każdy przekrój kuli płaszczyzną jest kołem.

Przekrój kuli dowolną płaszczyzną jest kołem. Największe koło powstaje wtedy, gdy płaszczyzna przechodzi przez środek kuli.

09Wzór i zależność

Stosunek pola do objętości

Często używany w analizie efektywności brył.

10Zasada ogólna

Skalowanie długości

W bryłach podobnych każda długość - krawędź, wysokość, promień lub przekątna - zmienia się w skali k.

Podobieństwo zachowuje kąty i mnoży wszystkie odległości przez ten sam dodatni współczynnik k.

11Zasada ogólna

Skalowanie pól

Pole dowolnej odpowiadającej powierzchni bryły podobnej rośnie jak kwadrat skali podobieństwa.

Pole zależy od iloczynu dwóch długości, a każda z nich zostaje pomnożona przez k.

12Zasada ogólna

Skalowanie objętości

Objętości brył podobnych pozostają w stosunku równym sześcianowi skali podobieństwa.

Objętość ma trzy wymiary liniowe, dlatego dwukrotne powiększenie daje osiem razy większą objętość.

Zastosuj wiedzę na modelu

Obróć bryłę, zmień jej parametry i sprawdź zależności na interaktywnej wizualizacji.

Otwórz model