Twierdzenia i zależności

Graniastosłup Czworokątny o Podstawie Trapezu

Graniastosłup prosty o podstawie trapezu. Umożliwia analizę pola podstawy, pola bocznego, pola całkowitego, objętości oraz wybranych przekątnych bryły.

20 użytecznych twierdzeń

01Wzór i zależność

Dłuższa podstawa trapezu

Długość jednej z równoległych podstaw trapezu.

02Wzór i zależność

Krótsza podstawa trapezu

Długość drugiej równoległej podstawy trapezu.

03Wzór i zależność

Pierwsze ramię trapezu

Długość jednego ramienia trapezu.

04Wzór i zależność

Drugie ramię trapezu

Długość drugiego ramienia trapezu.

05Wzór i zależność

Wysokość trapezu

Odległość między równoległymi podstawami trapezu.

06Wzór i zależność

Wysokość graniastosłupa

Odległość między dwiema równoległymi podstawami bryły.

07Wzór i zależność

Obwód podstawy

Obwód trapezu w podstawie.

Obwód trapezu to suma długości wszystkich jego boków:

dodajemy obie podstawy i oba ramiona.

08Wzór i zależność

Pole podstawy

Pole trapezu o podstawach a, b i wysokości h.

Pole trapezu to połowa iloczynu sumy długości podstaw i wysokości:

czyli najpierw dodajemy podstawy, potem mnożymy przez wysokość i dzielimy przez 2.

09Wzór i zależność

Pole boczne

Pole wszystkich ścian bocznych graniastosłupa.

W graniastosłupie prostym każda ściana boczna jest prostokątem. Suma szerokości tych prostokątów jest równa obwodowi podstawy. Dlatego:

a po podstawieniu obwodu trapezu:

10Wzór i zależność

Pole całkowite

Suma pól dwóch podstaw i pola bocznego.

Graniastosłup ma: - dwie podstawy - ściany boczne Dlatego:

Po podstawieniu wzoru na pole trapezu i pola bocznego otrzymujemy:

11Wzór i zależność

Objętość

Objętość graniastosłupa to pole podstawy razy wysokość.

Objętość każdego graniastosłupa obliczamy jako:

czyli pole podstawy razy wysokość bryły. Dla trapezu w podstawie:

12Wzór i zależność

Przekątna ściany bocznej przy boku a

Przekątna prostokątnej ściany bocznej o bokach a i H.

Jedna ze ścian bocznych jest prostokątem o bokach:

Jej przekątną liczymy z twierdzenia Pitagorasa:

13Wzór i zależność

Przekątna ściany bocznej przy boku b

Przekątna prostokątnej ściany bocznej o bokach b i H.

Ta ściana boczna też jest prostokątem, tylko jej podstawa ma długość:

Zatem:

14Wzór i zależność

Przekątna ściany bocznej przy ramieniu c

Przekątna ściany bocznej o bokach c i H.

15Wzór i zależność

Przekątna ściany bocznej przy ramieniu d

Przekątna ściany bocznej o bokach d i H.

16Wzór i zależność

Pierwsza przekątna podstawy

Długość jednej przekątnej trapezu.

17Wzór i zależność

Druga przekątna podstawy

Długość drugiej przekątnej trapezu.

18Wzór i zależność

Przekątna bryły oparta na przekątnej e

Jedna z przekątnych bryły między przeciwległymi wierzchołkami różnych podstaw.

W podstawie wybieramy przekątną trapezu o długości:

Następnie łączymy ją z wysokością graniastosłupa. Powstaje trójkąt prostokątny, więc:

19Wzór i zależność

Przekątna bryły oparta na przekątnej f

Druga przekątna bryły między przeciwległymi wierzchołkami różnych podstaw.

Trapez ma dwie przekątne w podstawie. Jeśli ich długości są różne albo rozpatrujesz różne połączenia wierzchołków, to odpowiadają im różne przekątne bryły:

20Wzór i zależność

Stosunek pola do objętości

Miara zwartości bryły.

Wielkość ta pokazuje, ile powierzchni przypada na jednostkę objętości. Im mniejsza wartość: - tym bryła jest bardziej zwarta - tym mniej materiału potrzeba do jej pokrycia.

Zastosuj wiedzę na modelu

Obróć bryłę, zmień jej parametry i sprawdź zależności na interaktywnej wizualizacji.

Otwórz model