Twierdzenia i zależności

Graniastosłup Prawidłowy Czworokątny

Graniastosłup prawidłowy o podstawie kwadratu. Umożliwia analizę pola podstawy, pola bocznego, pola całkowitego, objętości oraz przekątnych bryły.

14 użytecznych twierdzeń

01Wzór i zależność

Bok podstawy

Długość boku kwadratu będącego podstawą.

02Wzór i zależność

Wysokość graniastosłupa

Odległość między dwiema równoległymi podstawami bryły.

03Wzór i zależność

Obwód podstawy

Obwód kwadratu w podstawie.

Kwadrat ma cztery równe boki. Obwód to suma długości wszystkich boków:

co upraszcza się do:

04Wzór i zależność

Pole podstawy

Pole kwadratu o boku a.

Pole kwadratu liczymy jako iloczyn długości boku i tego samego boku:

czyli:

05Wzór i zależność

Pole boczne

Pole wszystkich ścian bocznych graniastosłupa.

Graniastosłup ma tyle ścian bocznych, ile boków ma jego podstawa. Podstawa jest kwadratem, więc są **4 ściany boczne**. Każda ściana jest prostokątem o bokach:

Pole jednego prostokąta:

Suma czterech takich pól:

Można też zapisać:

06Wzór i zależność

Pole całkowite

Suma pól dwóch podstaw i pola bocznego.

Graniastosłup ma: - dwie podstawy - ściany boczne Dlatego pole całkowite to:

Po podstawieniu wzorów:

07Wzór i zależność

Objętość

Objętość graniastosłupa to pole podstawy razy wysokość.

Objętość każdego graniastosłupa obliczamy jako:

czyli pole podstawy razy wysokość bryły. Po podstawieniu wzoru na pole podstawy kwadratu:

08Wzór i zależność

Promień okręgu wpisanego

Promień okręgu wpisanego w kwadrat.

Okrąg wpisany w kwadrat styka się ze środkiem każdego boku. Odległość od środka kwadratu do boku jest równa połowie długości boku, więc:

09Wzór i zależność

Promień okręgu opisanego

Promień okręgu opisanego na kwadracie.

Średnicą okręgu opisanego na kwadracie jest przekątna kwadratu. Przekątna kwadratu ma długość:

Promień to połowa średnicy, więc:

10Wzór i zależność

Przekątna podstawy

Przekątna kwadratu.

Przekątna kwadratu jest przeciwprostokątną w trójkącie prostokątnym o przyprostokątnych długości a i a. Z twierdzenia Pitagorasa:

11Wzór i zależność

Przekątna ściany bocznej

Przekątna prostokątnej ściany bocznej.

Ściana boczna graniastosłupa jest prostokątem. Jego boki mają długości:

Przekątna prostokąta liczymy z twierdzenia Pitagorasa:

12Wzór i zależność

Przekątna bryły

Przekątna bryły między przeciwległymi wierzchołkami różnych podstaw.

Najpierw liczymy przekątną podstawy:

Następnie tworzy się trójkąt prostokątny z wysokością bryły. Stosujemy twierdzenie Pitagorasa:

13Wzór i zależność

Pole podstawy z promienia wpisanego

Alternatywny wzór na pole kwadratu z obwodu i promienia okręgu wpisanego.

Dla każdego wielokąta foremnego obowiązuje wzór:

W przypadku kwadratu:

oraz:

Po podstawieniu otrzymujemy:

14Wzór i zależność

Stosunek pola do objętości

Miara zwartości bryły.

Wielkość ta pokazuje, ile powierzchni przypada na jednostkę objętości. Im mniejsza wartość: - tym bryła jest bardziej zwarta - tym mniej materiału potrzeba do jej pokrycia.

Zastosuj wiedzę na modelu

Obróć bryłę, zmień jej parametry i sprawdź zależności na interaktywnej wizualizacji.

Otwórz model