Średni

Graniastosłup Prawidłowy Czworokątny

Graniastosłup prawidłowy o podstawie kwadratu. Umożliwia analizę pola podstawy, pola bocznego, pola całkowitego, objętości oraz przekątnych bryły.

Twierdzenia

Interaktywny model

Zobacz bryłę w przestrzeni

Graniastosłup czworokątny o podstawie kwadratu

Interaktywny model 3D

Kliknij podstawę lub ścianę boczną, aby zobaczyć wzory i analizę. Użyj panelu Leva, żeby zmieniać wymiary, obrót i unfold.

Przeciągnij, aby obrócić. Gest szczypania zmienia przybliżenie.

Kliknij element bryły, aby otworzyć jego szczegóły.

Najważniejsze dane

Właściwości bryły

Szczegółowa specyfikacja parametrów geometrycznych graniastosłupa o podstawie kwadratu.

Ściany

Całkowita liczba ścian

Krawędzie

Wszystkie krawędzie bryły

Wierzchołki

Punkty styku krawędzi

Ściany boczne

Liczba ścian bocznych

Krawędzie podstawy

Krawędzie podstaw

Legenda symboli

VWierzchołki

Vertices - Punkty, w których zbiegają się krawędzie.

EKrawędzie

Edges - Odcinki łączące dwa wierzchołki.

FŚciany

Faces - Płaskie powierzchnie ograniczające bryłę.

Twierdzenie Eulera

Weryfikacja spójności topologicznej bryły

Wynik: Poprawny

Równanie

V - E + F = 2

8 - 12 + 6 = 2

∑

Na czym polega weryfikacja?

Weryfikacja Eulera to matematyczny „test szczelności” bryły. Dla każdego wielościanu wypukłego (takiego bez dziur i wklęśnięć), różnica między liczbą wierzchołków i krawędzi powiększona o liczbę ścian zawsze musi wynosić 2. Jeśli wynik się zgadza, mamy pewność, że struktura bryły jest poprawna.

Matematyczna Ontologia Bryły

Zestaw wzorów, zależności i wyprowadzeń

Poziom 01

Proste

Podstawowe wzory i zależności

ID_baseEdge

Bok podstawy

Długość boku kwadratu będącego podstawą.

ID_heightPrism

Wysokość graniastosłupa

Odległość między dwiema równoległymi podstawami bryły.

info

ID_basePerimeter

Obwód podstawy

Obwód kwadratu w podstawie.

info

ID_baseArea

Pole podstawy

Pole kwadratu o boku a.

info

ID_lateralArea

Pole boczne

Pole wszystkich ścian bocznych graniastosłupa.

info

ID_surfaceArea

Pole całkowite

Suma pól dwóch podstaw i pola bocznego.

info

ID_volume

Objętość

Objętość graniastosłupa to pole podstawy razy wysokość.

Poziom 02

Średnie

Wzory wymagające łączenia kilku zależności

info

ID_apothem

Promień okręgu wpisanego

Promień okręgu wpisanego w kwadrat.

info

ID_circumradius

Promień okręgu opisanego

Promień okręgu opisanego na kwadracie.

info

ID_baseDiagonal

Przekątna podstawy

Przekątna kwadratu.

info

ID_lateralFaceDiagonal

Przekątna ściany bocznej

Przekątna prostokątnej ściany bocznej.

info

ID_spaceDiagonal

Przekątna bryły

Przekątna bryły między przeciwległymi wierzchołkami różnych podstaw.

info

ID_areaFromApothem

Pole podstawy z promienia wpisanego

Alternatywny wzór na pole kwadratu z obwodu i promienia okręgu wpisanego.

Poziom 03

Zaawansowane

Trudniejsze zależności i wyprowadzenia

info

ID_compactnessRatio

Stosunek pola do objętości

Miara zwartości bryły.

Sekcja edukacyjna

Najczęstsze błędy

Zobacz najpopularniejsze pomyłki przy zadaniach o tej bryle i sprawdź, jak poprawnie zapisywać wzory, obliczenia oraz odpowiedzi.

błędów

Źle vs dobrze

czytelne porównanie

Wskazówki

łatwiej zapamiętać

Błąd 1

Zapominanie o dwóch podstawach

Źle

Dobrze

Graniastosłup ma dwie identyczne podstawy, więc w polu całkowitym trzeba uwzględnić obie. Poprawny wzór to .

Zapamiętaj

W polu całkowitym zawsze sprawdź, czy policzono obie podstawy, czyli składnik .

Błąd 2

Mylenie wysokości bryły z promieniem okręgu wpisanego

Źle

Dobrze

Objętość liczymy z wysokości bryły , a nie z promienia okręgu wpisanego w kwadrat .

Zapamiętaj

oznacza wysokość bryły, a dotyczy tylko podstawy.

Błąd 3

Błędne liczenie pola bocznego

Źle

Dobrze

Pole boczne to suma pól czterech ścian bocznych, a nie pole jednej ściany. Dlatego używamy wzoru .

Zapamiętaj

Najpierw policz obwód podstawy , a potem pomnóż go przez wysokość .

Błąd 4

Zły obwód podstawy

Źle

Dobrze

Podstawa jest kwadratem, więc ma cztery równe boki. Dlatego obwód wynosi .

Zapamiętaj

Kwadrat ma dokładnie 4 boki, więc jego obwód to zawsze .

Błąd 5

Mylenie przekątnej ściany bocznej z przekątną bryły

Źle

Dobrze

Wzór dotyczy przekątnej jednej ściany bocznej. Przekątna całej bryły musi uwzględniać przekątną podstawy kwadratu, czyli .

Zapamiętaj

Najpierw ustal, czy liczysz przekątną ściany , czy przekątną całej bryły .

Błąd 6

Błędny wzór na pole podstawy z promienia wpisanego

Źle

Dobrze

Dla wielokąta foremnego pole podstawy obliczamy ze wzoru , a nie .

Zapamiętaj

We wzorze z obwodem i promieniem wpisanym zawsze pamiętaj o podzieleniu przez .

Błąd 7

Pomijanie jednostek

Źle

Dobrze

Wynik bez jednostki jest niepełny. Pole zapisujemy w , a objętość w .

Zapamiętaj

Na końcu zawsze dopisz właściwą jednostkę, np. albo .

Matematyka

Przykładowe zadania

Graniastosłup Prawidłowy Czworokątny - 5 zadań o rosnącym poziomie trudności wraz z rozwiązaniami.

Rozwiązanie

Obwód sześciokąta foremnego:

Podstawiamy dane:

Rozwiązanie

Pole sześciokąta foremnego:

Podstawiamy dane:

Rozwiązanie

Najpierw obliczamy przekątną podstawy kwadratu:

Następnie tworzy się trójkąt prostokątny z wysokością bryły.

Stosujemy twierdzenie Pitagorasa:

Podstawiamy dane:

Rozwiązanie

Pole jednej podstawy:

Obwód podstawy:

Pole boczne:

Pole całkowite:

Rozwiązanie

Najpierw wyznaczamy bok podstawy.

W kwadracie przekątna wynosi:

Podstawiamy dane:

Dzielimy przez :

Usuwamy niewymierność z mianownika:

Pole podstawy:

Objętość graniastosłupa:

Quiz matematyczny