Twierdzenia i zależności

Dwunastościan

Dwunastościan foremny to wielościan złożony z dwunastu jednakowych pięciokątów foremnych. Pozwala analizować długość krawędzi, pole jednej ściany, pole całkowite, objętość oraz zależności między ścianami, przekrojami i symetrią bryły.

12 użytecznych twierdzeń

01Wzór i zależność

Długość krawędzi

Długość każdej krawędzi dwunastościanu foremnego.

02Wzór i zależność

Przekątna pięciokąta ściany

Długość przekątnej pięciokąta foremnego będącego ścianą dwunastościanu.

Każda ściana dwunastościanu foremnego jest pięciokątem foremnym. W pięciokącie foremnym przekątna jest równa złotej proporcji razy bok:

03Wzór i zależność

Obwód jednej ściany

Obwód pięciokąta foremnego będącego jedną ścianą dwunastościanu.

Każda ściana dwunastościanu foremnego jest pięciokątem foremnym. Ma pięć równych boków długości

, więc:

04Wzór i zależność

Pole jednej ściany

Pole jednego pięciokąta foremnego będącego ścianą dwunastościanu.

Każda ściana dwunastościanu foremnego jest pięciokątem foremnym o boku

. Pole pięciokąta foremnego wynosi:

05Wzór i zależność

Pole całkowite

Suma pól wszystkich dwunastu ścian dwunastościanu foremnego.

Dwunastościan foremny ma dwanaście jednakowych ścian będących pięciokątami foremnymi. Pole jednej ściany wynosi:

Zatem:

06Wzór i zależność

Objętość

Objętość dwunastościanu foremnego o krawędzi

Dla dwunastościanu foremnego obowiązuje gotowy wzór na objętość:

07Wzór i zależność

Promień kuli wpisanej

Promień kuli wpisanej w dwunastościan foremny.

08Wzór i zależność

Promień kuli opisanej

Promień kuli opisanej na dwunastościanie foremnym.

09Wzór i zależność

Przekrój dwunastościanu

Przekroje dwunastościanu foremnego mogą tworzyć różne wielokąty, zależnie od położenia płaszczyzny.

W dwunastościanie foremnym przekroje zależą od ułożenia płaszczyzny. Mogą powstawać różne wielokąty, a szczególnie ważne są przekroje przechodzące przez środki ścian lub przez wybrane wierzchołki.

10Wzór i zależność

Stosunek pola do objętości

Często używany w analizie efektywności brył.

11Zasada ogólna

Skalowanie długości

W bryłach podobnych każda długość - krawędź, wysokość, promień lub przekątna - zmienia się w skali k.

Podobieństwo zachowuje kąty i mnoży wszystkie odległości przez ten sam dodatni współczynnik k.

12Zasada ogólna

Skalowanie pól

Pole dowolnej odpowiadającej powierzchni bryły podobnej rośnie jak kwadrat skali podobieństwa.

Pole zależy od iloczynu dwóch długości, a każda z nich zostaje pomnożona przez k.

Zastosuj wiedzę na modelu

Obróć bryłę, zmień jej parametry i sprawdź zależności na interaktywnej wizualizacji.

Otwórz model