Twierdzenia i zależności

Sześcian

Sześcian to bryła, w której wszystkie krawędzie są równe. Umożliwia analizę pola podstawy, pola bocznego, pola całkowitego, objętości oraz przekątnych bryły.

13 użytecznych twierdzeń

01Wzór i zależność

Krawędź sześcianu

Długość każdej krawędzi sześcianu.

02Wzór i zależność

Obwód podstawy

Obwód kwadratowej podstawy sześcianu.

Podstawa sześcianu jest kwadratem. Kwadrat ma cztery równe boki długości . Dlatego:

03Wzór i zależność

Pole podstawy

Pole kwadratu o boku a.

Podstawa sześcianu jest kwadratem o boku . Pole kwadratu liczymy ze wzoru:

04Wzór i zależność

Pole boczne

Pole czterech ścian bocznych sześcianu.

Sześcian ma 4 ściany boczne. Każda ściana boczna jest kwadratem o polu:

Suma pól czterech takich ścian to:

05Wzór i zależność

Pole całkowite

Suma pól wszystkich sześciu ścian sześcianu.

Sześcian ma 6 jednakowych ścian. Każda ściana ma pole:

Zatem pole całkowite wynosi:

06Wzór i zależność

Objętość

Objętość sześcianu.

Objętość sześcianu liczymy jako:

czyli:

07Wzór i zależność

Przekątna podstawy

Przekątna kwadratowej podstawy sześcianu.

Podstawa jest kwadratem o boku . Przekątna kwadratu jest przeciwprostokątną w trójkącie prostokątnym o przyprostokątnych długości i . Z twierdzenia Pitagorasa:

08Wzór i zależność

Przekątna ściany

Przekątna dowolnej ściany sześcianu.

Każda ściana sześcianu jest kwadratem o boku . Dlatego przekątna każdej ściany wynosi:

09Wzór i zależność

Przekątna bryły

Przekątna bryły między przeciwległymi wierzchołkami sześcianu.

Najpierw liczymy przekątną podstawy:

Następnie tworzy się trójkąt prostokątny z trzecią krawędzią długości . Stosujemy twierdzenie Pitagorasa:

czyli:

10Wzór i zależność

Promień okręgu wpisanego w podstawę

Promień okręgu wpisanego w kwadratową podstawę.

Podstawa sześcianu jest kwadratem. Okrąg wpisany w kwadrat styka się ze środkiem każdego boku. Odległość od środka kwadratu do boku wynosi połowę długości boku:

11Wzór i zależność

Promień okręgu opisanego na podstawie

Promień okręgu opisanego na kwadratowej podstawie.

Średnicą okręgu opisanego na kwadracie jest przekątna kwadratu. Przekątna podstawy ma długość:

Promień to połowa średnicy, więc:

12Wzór i zależność

Pole podstawy z promienia wpisanego

Alternatywny wzór na pole kwadratu z obwodu i promienia okręgu wpisanego.

Dla wielokąta foremnego obowiązuje wzór:

W przypadku kwadratu:

oraz:

Po podstawieniu otrzymujemy:

13Wzór i zależność

Stosunek pola do objętości

Miara zwartości bryły.

Wielkość ta pokazuje, ile powierzchni przypada na jednostkę objętości. Im mniejsza wartość: - tym bryła jest bardziej zwarta - tym mniej materiału potrzeba do jej pokrycia.

Zastosuj wiedzę na modelu

Obróć bryłę, zmień jej parametry i sprawdź zależności na interaktywnej wizualizacji.

Otwórz model