Twierdzenia i zależności

Stożek

Stożek to bryła obrotowa o podstawie koła. Pozwala analizować pole podstawy, pole boczne, pole całkowite, objętość oraz zależności między promieniem, wysokością i tworzącą.

12 użytecznych twierdzeń

01Wzór i zależność

Promień podstawy

Promień koła będącego podstawą stożka.

02Wzór i zależność

Wysokość stożka

Odległość od wierzchołka stożka do środka podstawy.

03Wzór i zależność

Tworząca stożka

Odcinek łączący wierzchołek stożka z punktem na okręgu podstawy.

04Wzór i zależność

Obwód podstawy

Obwód koła w podstawie stożka.

Podstawa stożka jest kołem. Obwód koła o promieniu

wynosi:

05Wzór i zależność

Pole podstawy

Pole koła o promieniu r.

Podstawa stożka jest kołem. Pole koła o promieniu

liczymy ze wzoru:

06Wzór i zależność

Tworząca z promienia i wysokości

Zależność między promieniem, wysokością i tworzącą stożka.

W przekroju osiowym stożka powstaje trójkąt prostokątny. Jego przyprostokątne mają długości:

a przeciwprostokątną jest tworząca

. Z twierdzenia Pitagorasa:

07Wzór i zależność

Pole boczne

Pole powierzchni bocznej stożka.

Po rozcięciu powierzchni bocznej stożka otrzymujemy wycinek koła. Promieniem tego wycinka jest tworząca

, a długość łuku odpowiada obwodowi podstawy

. Z tego wynika wzór:

08Wzór i zależność

Pole całkowite

Suma pola podstawy i pola bocznego.

Stożek ma: - jedną podstawę - jedną powierzchnię boczną Dlatego:

Po podstawieniu wzorów:

09Wzór i zależność

Objętość

Objętość stożka to jedna trzecia pola podstawy razy wysokość.

Objętość stożka liczymy ze wzoru:

Ponieważ:

to otrzymujemy:

10Wzór i zależność

Pole przekroju osiowego

Pole trójkąta powstałego w przekroju osiowym stożka.

Przekrój osiowy stożka jest trójkątem równoramiennym. Jego podstawa ma długość

, a wysokość

. Pole tego trójkąta wynosi:

11Wzór i zależność

Stosunek pola do objętości

Często używany w analizie efektywności brył.

12Zasada ogólna

Skalowanie długości

W bryłach podobnych każda długość - krawędź, wysokość, promień lub przekątna - zmienia się w skali k.

Podobieństwo zachowuje kąty i mnoży wszystkie odległości przez ten sam dodatni współczynnik k.

Zastosuj wiedzę na modelu

Obróć bryłę, zmień jej parametry i sprawdź zależności na interaktywnej wizualizacji.

Otwórz model