Twierdzenia i zależności

Prostopadłościan

Prostopadłościan o prostokątnej podstawie. Umożliwia analizę pola podstawy, pola bocznego, pola całkowitego, objętości oraz przekątnych bryły.

13 użytecznych twierdzeń

01Wzór i zależność

Długość podstawy

Długość jednego boku prostokątnej podstawy.

02Wzór i zależność

Szerokość podstawy

Długość drugiego boku prostokątnej podstawy.

03Wzór i zależność

Wysokość prostopadłościanu

Odległość między dwiema równoległymi podstawami bryły.

04Wzór i zależność

Obwód podstawy

Obwód prostokąta w podstawie.

Podstawa prostopadłościanu jest prostokątem. Ma dwa boki długości i dwa boki długości . Obwód to suma wszystkich boków:

co upraszcza się do:

05Wzór i zależność

Pole podstawy

Pole prostokąta o bokach a i b.

Pole prostokąta liczymy jako iloczyn długości jego boków:

06Wzór i zależność

Pole boczne

Pole wszystkich ścian bocznych prostopadłościanu.

Prostopadłościan ma 4 ściany boczne. Dwie z nich są prostokątami o bokach:

a dwie kolejne mają boki:

Suma ich pól to:

Można to też zapisać jako:

07Wzór i zależność

Pole całkowite

Suma pól wszystkich sześciu ścian prostopadłościanu.

Prostopadłościan ma trzy pary równych ścian: - dwie o polu - dwie o polu - dwie o polu Dlatego:

czyli:

08Wzór i zależność

Objętość

Objętość prostopadłościanu to pole podstawy razy wysokość.

Objętość każdego graniastosłupa i prostopadłościanu obliczamy jako:

Ponieważ pole podstawy wynosi:

to otrzymujemy:

09Wzór i zależność

Przekątna podstawy

Przekątna prostokątnej podstawy.

Przekątna prostokąta jest przeciwprostokątną w trójkącie prostokątnym o przyprostokątnych długości i . Z twierdzenia Pitagorasa:

10Wzór i zależność

Przekątna ściany o bokach a i H

Przekątna jednej z prostokątnych ścian bocznych.

Ta ściana jest prostokątem o bokach:

Jej przekątna wynosi:

11Wzór i zależność

Przekątna ściany o bokach b i H

Przekątna drugiego typu ściany bocznej.

Ta ściana boczna jest prostokątem o bokach:

Dlatego jej przekątna to:

12Wzór i zależność

Przekątna bryły

Przekątna bryły między przeciwległymi wierzchołkami prostopadłościanu.

Najpierw liczymy przekątną podstawy:

Następnie tworzy się trójkąt prostokątny z wysokością bryły . Stosujemy twierdzenie Pitagorasa:

Po podstawieniu:

13Wzór i zależność

Stosunek pola do objętości

Miara zwartości bryły.

Wielkość ta pokazuje, ile powierzchni przypada na jednostkę objętości. Im mniejsza wartość: - tym bryła jest bardziej zwarta - tym mniej materiału potrzeba do jej pokrycia.

Zastosuj wiedzę na modelu

Obróć bryłę, zmień jej parametry i sprawdź zależności na interaktywnej wizualizacji.

Otwórz model