Twierdzenia i zależności

Ostrosłup Prawidłowy Sześciokątny

Ostrosłup prawidłowy o podstawie sześciokąta foremnego. Pozwala analizować pole podstawy, pole boczne, pole całkowite, objętość oraz wysokości i krawędzie bryły.

15 użytecznych twierdzeń

01Wzór i zależność

Bok podstawy

Długość boku sześciokąta foremnego będącego podstawą ostrosłupa.

02Wzór i zależność

Wysokość ostrosłupa

Odległość od wierzchołka ostrosłupa do płaszczyzny podstawy.

03Wzór i zależność

Obwód podstawy

Obwód sześciokąta foremnego w podstawie.

Podstawa jest sześciokątem foremnym. Ma sześć boków o tej samej długości:

Zatem:

04Wzór i zależność

Promień okręgu wpisanego w podstawę

Promień okręgu wpisanego w sześciokąt foremny.

Sześciokąt foremny można podzielić na 6 trójkątów równobocznych o boku

. Apotema sześciokąta, czyli promień okręgu wpisanego, jest wysokością takiego trójkąta:

05Wzór i zależność

Promień okręgu opisanego na podstawie

Promień okręgu opisanego na sześciokącie foremnym.

Sześciokąt foremny można podzielić na 6 trójkątów równobocznych. Promień okręgu opisanego jest wtedy równy długości boku sześciokąta:

06Wzór i zależność

Pole podstawy

Pole sześciokąta foremnego o boku a.

Sześciokąt foremny można podzielić na 6 trójkątów równobocznych. Pole jednego trójkąta równobocznego wynosi:

Zatem całe pole podstawy to:

07Wzór i zależność

Wysokość ściany bocznej

Wysokość trójkątnej ściany bocznej ostrosłupa.

W ostrosłupie prawidłowym wysokość ściany bocznej, wysokość ostrosłupa i promień okręgu wpisanego w podstawę tworzą trójkąt prostokątny. Dlatego:

Po podstawieniu

można też zapisać:

08Wzór i zależność

Pole jednej ściany bocznej

Pole jednego trójkąta bocznego.

Każda ściana boczna jest trójkątem o podstawie

i wysokości

. Dlatego:

09Wzór i zależność

Pole boczne

Suma pól sześciu ścian bocznych ostrosłupa.

Ostrosłup prawidłowy sześciokątny ma 6 jednakowych ścian bocznych. Pole jednej ściany wynosi:

Zatem suma pól sześciu ścian to:

10Wzór i zależność

Pole całkowite

Suma pola podstawy i pola bocznego.

Ostrosłup ma jedną podstawę i ściany boczne. Dlatego:

Po podstawieniu wzorów otrzymujemy:

11Wzór i zależność

Objętość

Objętość ostrosłupa to jedna trzecia pola podstawy razy wysokość.

Objętość każdego ostrosłupa liczymy ze wzoru:

Po podstawieniu pola podstawy:

12Wzór i zależność

Krawędź boczna

Długość krawędzi łączącej wierzchołek ostrosłupa z wierzchołkiem podstawy.

W ostrosłupie prawidłowym wysokość ostrosłupa i promień okręgu opisanego na podstawie tworzą z krawędzią boczną trójkąt prostokątny. Dlatego:

Ponieważ dla sześciokąta foremnego

, otrzymujemy:

13Wzór i zależność

Krótsza przekątna podstawy

Krótsza przekątna sześciokąta foremnego.

Krótsza przekątna sześciokąta foremnego łączy wierzchołki oddalone o jeden wierzchołek. Jej długość wynosi:

14Wzór i zależność

Dłuższa przekątna podstawy

Dłuższa przekątna sześciokąta foremnego.

Dłuższa przekątna sześciokąta foremnego przechodzi przez środek figury i jest średnicą okręgu opisanego. Ponieważ

, to:

15Wzór i zależność

Stosunek pola do objętości

Często używany w analizie efektywności brył.

Zastosuj wiedzę na modelu

Obróć bryłę, zmień jej parametry i sprawdź zależności na interaktywnej wizualizacji.

Otwórz model