Twierdzenia i zależności

Ostrosłup Pochyły o Podstawie Trójkąta Równoramiennego

Ostrosłup pochyły o podstawie trójkąta równoramiennego. Pozwala analizować pole podstawy, pole boczne, pole całkowite, objętość oraz wybrane elementy podstawy.

13 użytecznych twierdzeń

01Wzór i zależność

Podstawa trójkąta

Długość podstawy trójkąta równoramiennego w podstawie ostrosłupa.

02Wzór i zależność

Ramię trójkąta

Długość każdego z dwóch równych ramion trójkąta równoramiennego.

03Wzór i zależność

Wysokość trójkąta w podstawie

Wysokość trójkąta równoramiennego opuszczona na podstawę a.

Wysokość opuszczona na podstawę dzieli trójkąt równoramienny na dwa trójkąty prostokątne. Każdy z nich ma: - przeciwprostokątną długości

- jedną przyprostokątną długości

Z twierdzenia Pitagorasa:

04Wzór i zależność

Wysokość ostrosłupa

Odległość od wierzchołka ostrosłupa do płaszczyzny podstawy.

05Wzór i zależność

Obwód podstawy

Obwód trójkąta równoramiennego w podstawie.

Trójkąt równoramienny ma: - jedną podstawę długości

- dwa równe ramiona długości

Dlatego:

06Wzór i zależność

Pole podstawy

Pole trójkąta równoramiennego o podstawie a i wysokości h.

Podstawa ostrosłupa jest trójkątem. Pole trójkąta obliczamy ze wzoru:

gdzie

jest długością podstawy, a

wysokością opuszczoną na tę podstawę.

07Wzór i zależność

Pole podstawy z boków

Pole trójkąta równoramiennego wyrażone tylko przez długości boków.

Korzystamy ze wzoru:

oraz podstawiamy wysokość trójkąta równoramiennego:

Po uproszczeniu otrzymujemy:

08Wzór i zależność

Objętość

Objętość ostrosłupa pochyłego, tak jak każdego ostrosłupa, to jedna trzecia pola podstawy razy wysokość.

Objętość każdego ostrosłupa, także pochyłego, liczymy ze wzoru:

Po podstawieniu pola podstawy:

09Wzór i zależność

Pole boczne

Pole boczne to suma pól trzech ścian bocznych.

W ostrosłupie pochyłym o podstawie trójkąta równoramiennego ściany boczne zwykle nie są jednakowe. Dlatego pole boczne najbezpieczniej zapisujemy jako sumę pól trzech ścian bocznych:

10Wzór i zależność

Pole jednej ściany bocznej

Pole pojedynczej ściany bocznej, gdzie x to jej podstawa, a h_s wysokość tej ściany.

Każda ściana boczna jest trójkątem. Jeśli jej podstawa ma długość

, a wysokość tej ściany wynosi

, to:

11Wzór i zależność

Pole całkowite

Suma pola podstawy i pola bocznego.

Ostrosłup ma jedną podstawę i ściany boczne. Dlatego pole całkowite to:

12Wzór i zależność

Promień okręgu wpisanego w podstawę

Promień okręgu wpisanego w trójkąt równoramienny.

Dla dowolnego trójkąta zachodzi wzór:

gdzie

to połowa obwodu. Dla trójkąta równoramiennego:

Zatem:

13Wzór i zależność

Stosunek pola do objętości

Często używany w analizie efektywności brył.

Zastosuj wiedzę na modelu

Obróć bryłę, zmień jej parametry i sprawdź zależności na interaktywnej wizualizacji.

Otwórz model