Twierdzenia i zależności

Ostrosłup Czworokątny o Podstawie Kwadratu

Ostrosłup o podstawie kwadratu. Pozwala analizować pole podstawy, pole boczne, pole całkowite, objętość oraz wysokości i przekątne bryły.

14 użytecznych twierdzeń

01Wzór i zależność

Bok podstawy

Długość boku kwadratu będącego podstawą ostrosłupa.

02Wzór i zależność

Wysokość ostrosłupa

Odległość od wierzchołka ostrosłupa do płaszczyzny podstawy.

03Wzór i zależność

Obwód podstawy

Obwód kwadratu w podstawie.

Podstawa jest kwadratem. Kwadrat ma cztery równe boki długości

. Dlatego:

04Wzór i zależność

Pole podstawy

Pole kwadratu o boku a.

Podstawa ostrosłupa jest kwadratem. Pole kwadratu obliczamy ze wzoru:

05Wzór i zależność

Przekątna podstawy

Przekątna kwadratowej podstawy.

Przekątna podstawy jest przeciwprostokątną w trójkącie prostokątnym o przyprostokątnych długości

. Z twierdzenia Pitagorasa:

06Wzór i zależność

Promień okręgu wpisanego w podstawę

Promień okręgu wpisanego w kwadratową podstawę.

Okrąg wpisany w kwadrat styka się z każdym bokiem w jego środku. Odległość od środka kwadratu do boku wynosi połowę długości boku:

07Wzór i zależność

Promień okręgu opisanego na podstawie

Promień okręgu opisanego na kwadratowej podstawie.

Średnicą okręgu opisanego na kwadracie jest przekątna kwadratu. Ponieważ przekątna ma długość

, promień wynosi:

08Wzór i zależność

Wysokość ściany bocznej

Wysokość trójkątnej ściany bocznej ostrosłupa.

Wysokość ściany bocznej, wysokość ostrosłupa i promień okręgu wpisanego w podstawę tworzą trójkąt prostokątny. Dlatego:

Po podstawieniu

otrzymujemy:

09Wzór i zależność

Pole jednej ściany bocznej

Pole jednego trójkąta bocznego.

Każda ściana boczna jest trójkątem o podstawie

i wysokości

. Dlatego:

10Wzór i zależność

Pole boczne

Suma pól czterech ścian bocznych ostrosłupa.

Ostrosłup ma 4 jednakowe ściany boczne. Pole jednej ściany wynosi:

Zatem:

11Wzór i zależność

Pole całkowite

Suma pola podstawy i pola bocznego.

Ostrosłup ma jedną podstawę i ściany boczne. Dlatego:

Po podstawieniu:

12Wzór i zależność

Objętość

Objętość ostrosłupa to jedna trzecia pola podstawy razy wysokość.

Objętość każdego ostrosłupa liczymy ze wzoru:

Po podstawieniu pola podstawy:

13Wzór i zależność

Krawędź boczna

Długość krawędzi łączącej wierzchołek ostrosłupa z wierzchołkiem podstawy.

Wysokość ostrosłupa, promień okręgu opisanego na podstawie i krawędź boczna tworzą trójkąt prostokątny. Dlatego:

Po podstawieniu

otrzymujemy:

14Wzór i zależność

Stosunek pola do objętości

Często używany w analizie efektywności brył.

Zastosuj wiedzę na modelu

Obróć bryłę, zmień jej parametry i sprawdź zależności na interaktywnej wizualizacji.

Otwórz model