Twierdzenia i zależności

Graniastosłup Prawidłowy Trójkątny

Graniastosłup prawidłowy o podstawie trójkąta równobocznego. Umożliwia analizę pola podstawy, pola bocznego, pola całkowitego, objętości oraz wybranych długości w bryle.

13 użytecznych twierdzeń

01Wzór i zależność

Bok podstawy

Długość boku trójkąta równobocznego będącego podstawą.

02Wzór i zależność

Wysokość graniastosłupa

Odległość między dwiema równoległymi podstawami bryły.

03Wzór i zależność

Obwód podstawy

Obwód trójkąta równobocznego w podstawie.

Trójkąt równoboczny ma trzy równe boki. Obwód to suma długości wszystkich boków:

co upraszcza się do:

04Wzór i zależność

Pole podstawy

Pole trójkąta równobocznego o boku a.

Podstawą bryły jest trójkąt równoboczny. Pole trójkąta liczymy ze wzoru:

Wysokość trójkąta równobocznego wynosi:

Po podstawieniu:

otrzymujemy:

05Wzór i zależność

Pole boczne

Pole wszystkich ścian bocznych graniastosłupa.

Graniastosłup ma tyle ścian bocznych, ile boków ma jego podstawa. Podstawa jest trójkątem równobocznym, więc są **3 ściany boczne**. Każda ściana jest prostokątem o bokach:

Pole jednego prostokąta:

Suma trzech takich pól:

Można też zapisać:

06Wzór i zależność

Pole całkowite

Suma pól dwóch podstaw i pola bocznego.

Graniastosłup ma: - dwie podstawy - ściany boczne Dlatego pole całkowite to:

Po podstawieniu wzorów:

07Wzór i zależność

Objętość

Objętość graniastosłupa to pole podstawy razy wysokość.

Objętość każdego graniastosłupa obliczamy jako:

czyli pole podstawy razy wysokość bryły. Po podstawieniu wzoru na pole trójkąta równobocznego:

08Wzór i zależność

Wysokość trójkąta w podstawie

Wysokość trójkąta równobocznego będącego podstawą.

Wysokość dzieli trójkąt równoboczny na dwa trójkąty prostokątne. Przeciwprostokątna ma długość:

Jedna przyprostokątna ma długość:

Z twierdzenia Pitagorasa:

Po uproszczeniu:

09Wzór i zależność

Promień okręgu wpisanego w podstawę

Promień okręgu wpisanego w trójkąt równoboczny.

W trójkącie równobocznym środek okręgu wpisanego leży na wysokości. Promień okręgu wpisanego stanowi jedną trzecią wysokości trójkąta licząc od podstawy:

Ponieważ:

to:

10Wzór i zależność

Promień okręgu opisanego

Promień okręgu opisanego na trójkącie równobocznym.

W trójkącie równobocznym środek okręgu opisanego leży na wysokości. Promień okręgu opisanego stanowi dwie trzecie wysokości trójkąta:

Po podstawieniu:

otrzymujemy:

11Wzór i zależność

Przekątna ściany bocznej

Przekątna prostokątnej ściany bocznej.

Ściana boczna graniastosłupa jest prostokątem. Jego boki mają długości:

Przekątna prostokąta liczymy z twierdzenia Pitagorasa:

12Wzór i zależność

Pole podstawy z wysokości trójkąta

Alternatywny wzór na pole podstawy.

Pole każdego trójkąta można policzyć jako:

gdzie: -

to długość podstawy, -

to wysokość opuszczona na tę podstawę. W trójkącie równobocznym również korzystamy z tego wzoru.

13Wzór i zależność

Stosunek pola do objętości

Miara zwartości bryły.

Wielkość ta pokazuje, ile powierzchni przypada na jednostkę objętości. Im mniejsza wartość: - tym bryła jest bardziej zwarta - tym mniej materiału potrzeba do jej pokrycia.

Zastosuj wiedzę na modelu

Obróć bryłę, zmień jej parametry i sprawdź zależności na interaktywnej wizualizacji.

Otwórz model