Twierdzenia i zależności

Graniastosłup Prawidłowy Sześciokątny

Graniastosłup prawidłowy o podstawie sześciokąta foremnego. Umożliwia analizę pola podstawy, pola bocznego, pola całkowitego, objętości oraz przekątnych bryły.

14 użytecznych twierdzeń

01Wzór i zależność

Bok podstawy

Długość boku sześciokąta foremnego będącego podstawą.

02Wzór i zależność

Wysokość graniastosłupa

Odległość między dwiema równoległymi podstawami bryły.

03Wzór i zależność

Obwód podstawy

Obwód sześciokąta foremnego w podstawie.

Sześciokąt foremny ma sześć równych boków. Obwód to suma długości wszystkich boków:

co upraszcza się do:

04Wzór i zależność

Pole podstawy

Pole sześciokąta foremnego o boku a.

Sześciokąt foremny można podzielić na **6 trójkątów równobocznych** o boku a. Pole jednego takiego trójkąta wynosi:

Zatem pole całego sześciokąta to:

co daje:

05Wzór i zależność

Pole boczne

Pole wszystkich ścian bocznych graniastosłupa.

Graniastosłup ma tyle ścian bocznych, ile boków ma jego podstawa. Podstawa jest sześciokątem foremnym, więc są **6 ścian bocznych**. Każda ściana jest prostokątem o bokach:

Pole jednego prostokąta:

Suma sześciu takich pól:

Można też zapisać:

06Wzór i zależność

Pole całkowite

Suma pól dwóch podstaw i pola bocznego.

Graniastosłup ma: - dwie podstawy - ściany boczne Dlatego pole całkowite to:

Po podstawieniu wzorów:

07Wzór i zależność

Objętość

Objętość graniastosłupa to pole podstawy razy wysokość.

Objętość każdego graniastosłupa obliczamy jako:

czyli pole podstawy razy wysokość bryły. Po podstawieniu wzoru na pole podstawy sześciokąta:

08Wzór i zależność

Apotema podstawy

Promień okręgu wpisanego w sześciokąt foremny.

Apotema to promień okręgu wpisanego w wielokąt foremny. W sześciokącie foremnym po podziale na 6 trójkątów równobocznych otrzymujemy trójkąt prostokątny 30°-60°-90°. Apotema jest wysokością trójkąta równobocznego o boku a, więc:

09Wzór i zależność

Promień okręgu opisanego

Promień okręgu opisanego na sześciokącie foremnym.

Sześciokąt foremny można podzielić na 6 trójkątów równobocznych. Każdy taki trójkąt ma boki długości:

Promień okręgu opisanego jest więc równy długości boku sześciokąta:

10Wzór i zależność

Dłuższa przekątna podstawy

Najdłuższa przekątna sześciokąta foremnego.

Najdłuższa przekątna sześciokąta foremnego łączy dwa przeciwległe wierzchołki. Taka przekątna przechodzi przez środek okręgu opisanego i jest jego średnicą. Ponieważ:

to średnica wynosi:

11Wzór i zależność

Przekątna ściany bocznej

Przekątna prostokątnej ściany bocznej.

Ściana boczna graniastosłupa jest prostokątem. Jego boki mają długości:

Przekątna prostokąta liczymy z twierdzenia Pitagorasa:

12Wzór i zależność

Przekątna bryły

Przekątna bryły między przeciwległymi wierzchołkami różnych podstaw.

Najpierw liczymy najdłuższą przekątną podstawy:

Następnie tworzy się trójkąt prostokątny z wysokością bryły. Stosujemy twierdzenie Pitagorasa:

13Wzór i zależność

Pole podstawy z apotemy

Alternatywny wzór na pole sześciokąta foremnego.

Sześciokąt foremny można podzielić na **6 identycznych trójkątów**. Pole jednego trójkąta:

Suma sześciu takich pól daje:

14Wzór i zależność

Stosunek pola do objętości

Miara zwartości bryły.

Wielkość ta pokazuje, ile powierzchni przypada na jednostkę objętości. Im mniejsza wartość: - tym bryła jest bardziej zwarta - tym mniej materiału potrzeba do jej pokrycia.

Zastosuj wiedzę na modelu

Obróć bryłę, zmień jej parametry i sprawdź zależności na interaktywnej wizualizacji.

Otwórz model