Twierdzenia i zależności

Graniastosłup Pochyły Czworokątny o Podstawie Kwadratu

Graniastosłup pochyły o podstawie kwadratu to bryła, której podstawy są kwadratami, ale krawędzie boczne nie są prostopadłe do podstaw. Umożliwia analizę pola podstawy, pola bocznego, pola całkowitego, objętości oraz zależności między wysokością, krawędzią boczną i przekątnymi bryły.

15 użytecznych twierdzeń

01Wzór i zależność

Bok podstawy

Długość boku kwadratu będącego podstawą.

02Wzór i zależność

Wysokość graniastosłupa

Odległość między dwiema równoległymi podstawami bryły.

03Wzór i zależność

Krawędź boczna

Długość krawędzi bocznej graniastosłupa pochyłego, zwykle większa od wysokości.

04Wzór i zależność

Obwód podstawy

Obwód kwadratu w podstawie.

Kwadrat ma cztery równe boki. Obwód to suma długości wszystkich boków:

co upraszcza się do:

05Wzór i zależność

Pole podstawy

Pole kwadratu o boku

Pole kwadratu liczymy jako iloczyn długości boku i tego samego boku:

czyli:

06Wzór i zależność

Pole boczne

Pole wszystkich ścian bocznych graniastosłupa pochyłego. Tutaj

oznacza wysokość odpowiedniej ściany bocznej.

W graniastosłupie prostym ściany boczne są prostokątami, więc pole boczne liczymy jako:

W graniastosłupie pochyłym ściany boczne są równoległobokami, a ich wysokość nie musi być równa wysokości bryły

. Dlatego w ogólnym przypadku używamy wysokości ściany bocznej, a nie samej wysokości bryły.

07Wzór i zależność

Pole całkowite

Suma pól dwóch podstaw i pola bocznego.

Graniastosłup pochyły ma: - dwie podstawy - ściany boczne Dlatego pole całkowite to:

Po podstawieniu pola podstawy:

08Wzór i zależność

Objętość

Objętość graniastosłupa to pole podstawy razy wysokość.

Objętość każdego graniastosłupa obliczamy jako:

czyli pole podstawy razy wysokość bryły. To działa również dla graniastosłupa pochyłego. Po podstawieniu wzoru na pole podstawy kwadratu:

09Wzór i zależność

Promień okręgu wpisanego

Promień okręgu wpisanego w kwadrat podstawy.

Okrąg wpisany w kwadrat styka się ze środkiem każdego boku. Odległość od środka kwadratu do boku jest równa połowie długości boku, więc:

10Wzór i zależność

Promień okręgu opisanego

Promień okręgu opisanego na kwadracie.

Średnicą okręgu opisanego na kwadracie jest przekątna kwadratu. Przekątna kwadratu ma długość:

Promień to połowa średnicy, więc:

11Wzór i zależność

Przekątna podstawy

Przekątna kwadratu w podstawie.

Przekątna kwadratu jest przeciwprostokątną w trójkącie prostokątnym o przyprostokątnych długości

. Z twierdzenia Pitagorasa:

12Wzór i zależność

Przekątna ściany bocznej

Przekątna ściany bocznej będącej równoległobokiem. Jej wzór zależy od długości krawędzi bocznej oraz kąta nachylenia.

W graniastosłupie prostym ściana boczna jest prostokątem, więc można łatwo użyć twierdzenia Pitagorasa. W graniastosłupie pochyłym ściana boczna jest równoległobokiem, więc długość jej przekątnej zależy także od kąta między bokiem podstawy a krawędzią boczną.

13Wzór i zależność

Przekątna bryły

Przekątna bryły między odpowiednimi wierzchołkami różnych podstaw. Jej długość zależy od pochylenia graniastosłupa.

W graniastosłupie prostym położenie górnej podstawy jest dokładnie nad dolną. W graniastosłupie pochyłym górna podstawa jest przesunięta, więc długość przekątnej bryły zależy nie tylko od przekątnej podstawy i wysokości, ale też od kierunku pochylenia.

14Wzór i zależność

Pole podstawy z promienia wpisanego

Alternatywny wzór na pole kwadratu z obwodu i promienia okręgu wpisanego.

Dla każdego wielokąta foremnego obowiązuje wzór:

W przypadku kwadratu:

oraz:

Po podstawieniu otrzymujemy:

15Wzór i zależność

Stosunek pola do objętości

Miara zwartości bryły.

Wielkość ta pokazuje, ile powierzchni przypada na jednostkę objętości. Im mniejsza wartość: - tym bryła jest bardziej zwarta - tym mniej materiału potrzeba do jej pokrycia.

Zastosuj wiedzę na modelu

Obróć bryłę, zmień jej parametry i sprawdź zależności na interaktywnej wizualizacji.

Otwórz model