Twierdzenia i zależności

Graniastosłup Prawidłowy Pięciokątny

Graniastosłup prawidłowy o podstawie pięciokąta foremnego. Umożliwia analizę pola podstawy, pola bocznego, pola całkowitego, objętości oraz przekątnych bryły.

14 użytecznych twierdzeń

01Wzór i zależność

Bok podstawy

Długość boku pięciokąta foremnego będącego podstawą.

02Wzór i zależność

Wysokość graniastosłupa

Odległość między dwiema równoległymi podstawami bryły.

03Wzór i zależność

Obwód podstawy

Obwód pięciokąta foremnego w podstawie.

Pięciokąt foremny ma pięć równych boków. Obwód to suma długości wszystkich boków:

co upraszcza się do:

04Wzór i zależność

Pole podstawy

Pole pięciokąta foremnego o boku a.

Dla dowolnego wielokąta foremnego obowiązuje wzór:

gdzie n oznacza liczbę boków. Dla pięciokąta mamy:

Podstawiając do wzoru:

Ponieważ:

otrzymujemy końcowo:

05Wzór i zależność

Pole boczne

Pole wszystkich ścian bocznych graniastosłupa.

Graniastosłup ma tyle ścian bocznych, ile boków ma jego podstawa. Podstawa jest pięciokątem foremnym, więc są **5 ścian bocznych**. Każda ściana jest prostokątem o bokach:

Pole jednego prostokąta:

Suma pięciu takich pól:

Można też zapisać:

06Wzór i zależność

Pole całkowite

Suma pól dwóch podstaw i pola bocznego.

Graniastosłup ma: - dwie podstawy - ściany boczne Dlatego pole całkowite to:

Po podstawieniu wzorów:

07Wzór i zależność

Objętość

Objętość graniastosłupa to pole podstawy razy wysokość.

Objętość każdego graniastosłupa obliczamy jako:

czyli pole podstawy razy wysokość bryły. Po podstawieniu wzoru na pole podstawy pięciokąta:

08Wzór i zależność

Apotema podstawy

Promień okręgu wpisanego w pięciokąt foremny.

Apotema to promień okręgu wpisanego w wielokąt foremny. W pięciokącie powstaje trójkąt prostokątny z kątem:

Z definicji tangensa:

Po przekształceniu:

09Wzór i zależność

Promień okręgu opisanego

Promień okręgu opisanego na pięciokącie foremnym.

W trójkącie utworzonym przez dwa promienie i bok pięciokąta powstaje trójkąt równoramienny. Kąt przy wierzchołku wynosi:

Po podziale na dwa trójkąty prostokątne używamy sinusa:

Stąd:

10Wzór i zależność

Przekątna podstawy

Przekątna pięciokąta foremnego.

W pięciokącie foremnym stosunek przekątnej do boku jest równy złotej proporcji.

Dlatego:

11Wzór i zależność

Przekątna ściany bocznej

Przekątna prostokątnej ściany bocznej.

Ściana boczna graniastosłupa jest prostokątem. Jego boki mają długości:

Przekątna prostokąta liczymy z twierdzenia Pitagorasa:

12Wzór i zależność

Przekątna bryły

Przekątna bryły między odpowiednio oddalonymi wierzchołkami różnych podstaw.

Najpierw liczymy przekątną podstawy:

Następnie tworzy się trójkąt prostokątny z wysokością bryły. Stosujemy twierdzenie Pitagorasa:

13Wzór i zależność

Pole podstawy z apotemy

Alternatywny wzór na pole pięciokąta foremnego.

Pięciokąt foremny można podzielić na **5 identycznych trójkątów**. Pole jednego trójkąta:

Suma pięciu takich pól daje:

14Wzór i zależność

Stosunek pola do objętości

Miara zwartości bryły.

Wielkość ta pokazuje, ile powierzchni przypada na jednostkę objętości. Im mniejsza wartość: - tym bryła jest bardziej zwarta - tym mniej materiału potrzeba do jej pokrycia.

Zastosuj wiedzę na modelu

Obróć bryłę, zmień jej parametry i sprawdź zależności na interaktywnej wizualizacji.

Otwórz model